Почему плюс на минус дает минус

В каких случаях минус на минус дает плюс?

“Плюс” на “плюс” всегда дает положительный ответ. То же самое и с двумя минусами: как при умножении, так и при делении двух чисел со знаком “-” получается положительное число. Иногда при объяснении этого правила используют пословицу “Враг моего врага - мой друг”.

Аксиома кольца

Чтобы лучше разобраться в теме, сначала поговорим о двух математических законах сложения.

1. Переместительный. Он гласит, что А + В = В + А.
2. Сочетательный. Согласно ему, (А + В) + С = А + (В + С).

Точно такой же порядок действует и для перемножения:

(А × В) × С = А × (В × С)

Также: С × (А + В) = С × А + С × В

Подобная алгебраическая структура получила название кольца. В нее можно ввести число 0 - элемент, нейтральный для операции сложения. Также нужно учитывать, что для каждого положительного числа существует противоположное ему число со знаком “-”. При их сложении выходит ноль: (А + (-А) = 0.

Выведение аксиом для отрицательных чисел

Опираясь на приведенные выше данные, докажем, что А × (-В) = -(А × В), а также то, что (-(-А)) = А. Однако вначале необходимо подтвердить, что для у каждого числа есть только один “антипод”.

Допустим, что элемент А имеет сразу два противоположных ему элемента - Е и Н. В таком случае А + Е = 0 и А + Н = 0, или же А + Е = 0 = А + Н. Учитывая переместительный закон и особенности числа 0, рассмотрим значение суммы слагаемых А, Е и Н.

Сначала выведем значение числа Е. Очевидно, что Е = Е + 0 = Е + А + Н, так как А + Н, как уже было показано до этого, равно 0. Таким образом, Е = Е + А + Н.

Точно таким же способом можно вывести значение и для Н:

Н = А + Е + Н = (А + Е) + Н = 0 + Н = Н. На основе данных действий мы получаем, что Е = Н.

Теперь мы ближе подходим к ответу на вопрос, почему же “+” на “-” дает “-”. Мы знаем, что для числа -А существует два равных противоположных элемента: А и (-(-А)). Логично, что 0 × Е = (А + (-А)) × Е = А × Е + (-А) × Е. Тогда выражение А × Е будет противоположным (-А) × Е, следовательно, (-А) × Е = -(А × Е).

Чтобы соблюсти все строгости царицы наук, нужно также доказать, что 0 × Е = 0 в случае с любым числом. При элементарных расчетах выйдет следующее: 0 × Е = (0 + 0) × Е = 0 × Е + 0 × Е, то есть произведение 0 × Е никак не влияет на полученную сумму.

Умножение и деление чисел со знаком “-”

Знание вышеперечисленных аксиом поможет разобраться и в нюансах умножения двух отрицательных чисел. Это будет несколько проще.

Берем выражение А - (-В)) = С. Из этого следует, что А = С + (-В), или А = С - В. Если перенести В, получится, что А + В = С, и А + В = С - (-В). На данном примере становится понятно, почему два идущих друг за другом “минуса” меняются на “плюс”.

Теперь перейдем к умножению.

В выражение (-А) х (-В) = С добавляем и вычитаем два одинаковых произведения, которые не меняют его значения: (-А) х (-В) + (А х В) - (А х В) = С. Принимая во внимание правила работы со скобками, мы получим следующее:

• (-А) х (-В) + (А х В) + (-А) х В = С;
• (-А) х ((-В) + В) + А х В = С;
• (-А) х 0 + А х В = С;
• А х В = С.

Как видно, А х В = (-А) х (-В).

Точно такая же техника применяется и к делению.

Попроще, пожалуйста!

Конечно, подобные вычисления могут показаться сложными даже для взрослого, не говоря уже о ребенке. Вот самое простое объяснение, с помощью которого можно лучше понять эту тему.

Возьмем утверждение “Земля - круглая”. Придадим ему отрицательное значение: “Неверно, что Земля - круглая”. Добавим еще один “минус”: “Неверно, что неверно, что Земля круглая”. В этом случае заявление будет снова иметь положительное значение.

Согласно закону двойного отрицания, если неправильное утверждение неправильно, то оно в итоге верно.